DERIVE for Windows version 5.05 DfW file saved on 30 Sep 2004 a:=[t^2 - 1, 5t + 9] b:=[t + 1, t - 1] hCross:=APPROX(2903225806451613/1000000000000000) vCross:=APPROX(- 54838709677419351/10000000000000000) CTextObj #{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1030{\fonttbl{\f0\froman\fprq2\fcharset0 Times New Roman;}} {\colortbl ;\red0\green0\blue0;} \viewkind4\uc1\pard\cf1\i\f0\fs32 Introduktion til Derive: Bogstavregning og l\'f8sning af ligninger \par } /L{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1030{\fonttbl{\f0\froman\fprq2\fcharset0 Times New Roman;}{\f1\fnil\fcharset2 DfW5 Printer;}} {\colortbl ;\red0\green0\blue0;} \viewkind4\uc1\pard\cf1\f0\fs24 \par Opgave 1. Simpel udregning - eksakt eller tiln\'e6rmet \par Skriv i indtastningsfeltet: 3-4+\f1\'8b\f0 5 \par Pr\'f8v efter tur de fem knapper til venstre for indtastningsfeltet (forskellige former for lighedstegn). \par Find ud af, hvad de forskellige knapper g\'f8r. \par Bem\'e6rk, at to af dem ogs\'e5 optr\'e6der i v\'e6rkt\'f8jsbj\'e6lken. \par \par Opgave 2. Reduktion af symboludtryk \par Skriv i indtastningsfeltet: 2*(a+b)\f1 ^\f0 2-4*b*(a-b) \par Brug lighedstegnet i v\'e6rkt\'f8jsbj\'e6lken til at reducere udtrykket. \par \par Eksempel. L\'f8sning af en ligning \par Skriv i indtastningsfeltet: 2*x-6=0 \par Tast Enter. Brug dern\'e6st i v\'e6rkt\'f8jsbj\'e6lken forst\'f8rrelsesglasset med et lighedstegn i. V\'e6lg "Solve". \par Resultatet er som f\'f8lger:\i\fs28 \par } CExpnObj8XdUser2*x-6=08p| Solve(#1,x)SOLVE(2*x-6=0,x) Simp(Solve(#1,x)){Gz?x=3qB{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1030{\fonttbl{\f0\froman\fprq2\fcharset0 Times New Roman;}{\f1\fnil\fcharset2 DfW5 Printer;}} {\colortbl ;\red0\green0\blue0;} \viewkind4\uc1\pard\cf1\f0\fs24 \par Opgave 3. L\'f8sning af ligninger \par a) L\'f8s ligningen x\f1 ^\f0 2-3x+2=0 \par b) L\'f8s ligningen x\f1 ^\f0 2-17x+8=0, f\'f8rst s\'e5 l\'f8sningerne bestemmes som eksakte v\'e6rdier ("algebraically"), bagefter s\'e5 de bestemmes som tiln\'e6rmede v\'e6rdier ("numerically"). \par c) L\'f8s ligningen 500*1.03\f1 ^\f0 x=700 (alts\'e5 problemet: N\'e5r man s\'e6tter 500 kr. i banken til 3% i rente om \'e5ret, hvor mange \'e5r g\'e5r der s\'e5, f\'f8r man har 700 kr.?). Her er det en god id\'e9 at bede om en numerisk l\'f8sning, ikke en eksakt v\'e6rdi. \par \par Eksempel. L\'f8sning af et ligningssystem \par Vi vil l\'f8se ligningssystemet 2x-3y=12 , 4x+y=10. Vi v\'e6lger derfor "Solve" og dern\'e6st "System" og angiver antal ligninger til 2. S\'e5 skriver vi ligningerne p\'e5 hver sin linie og klikker "Solve". Det kommer til at se s\'e5ledes ud: \par } 8}Solve(User,[x,y])"SOLVE([2*x-3*y=12,4*x+y=10],[x,y])HSimp(Solve(User,[x,y])){Gz?[x=3 AND y=-2]kR{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1030{\fonttbl{\f0\froman\fprq2\fcharset0 Times New Roman;}} {\colortbl ;\red0\green0\blue0;} \viewkind4\uc1\pard\cf1\f0\fs24 \par Opgave 4. L\'f8sning af et ligningssystem \par L\'f8s ligningssystemet 2x+y+4z=3 , -2x+8y-z=-3 , 3x+3y+5z=0 \par \par \par \par \par \par \par \par } w{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1030{\fonttbl{\f0\froman\fprq2\fcharset0 Times New Roman;}} {\colortbl ;\red0\green0\blue0;} \viewkind4\uc1\pard\cf1\i\f0\fs32 Vektorer og geometri \par } #i{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1030{\fonttbl{\f0\froman\fprq2\fcharset0 Times New Roman;}{\f1\fnil\fcharset2 DfW5 Printer;}} {\colortbl ;\red0\green0\blue0;} \viewkind4\uc1\pard\cf1\f0\fs24 \par Eksempel. Regning med vektorer \par Vi vil beregne to vektorers sum, skalarprodukt, determinant og l\'e6ngder. F\'f8rst skal de to vektorer defineres. I indtastningsfeltet skrives derfor a:=\f1 [\f0 3,1\f1 ]\f0 . Bem\'e6rk, at der skal bruges firkantede parenteser til koordinats\'e6ttet. Ligeledes definerer vi b:=\f1 [\f0 2,-5\f1 ]\f0 . Derefter beder vi om udregning af a+b, a*b og cross(a,b). Bem\'e6rk, at skalarproduktet skrives med et almindeligt gangetegn, og at determinanten hedder "cross". L\'e6ngden af vektorerne beregnes som abs(a) og abs(b). Alt i alt ser det ud som nedenfor. Regn efter i hovedet, at resultaterne er korrekte. \par \i\fs32 \par } 8/;Usera:=[3,1]8GSUser b:=[2,-5]8_`kUsera+bw(Simp(#8) [5,-4]8PUser a*b Simp(#10) 18User  CROSS(a,b) Simp(#12) -178PUserABS(a) Simp(#14)SQRT(10)8P+UserABS(b)7C Simp(#16)SQRT(29)O{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1030{\fonttbl{\f0\froman\fprq2\fcharset0 Times New Roman;}{\f1\fnil\fcharset2 DfW5 Printer;}} {\colortbl ;\red0\green0\blue0;} \viewkind4\uc1\pard\cf1\f0\fs24 \par Opgave 5. Regning med vektorer \par S\'e6t a:=\f1 [\f0 -2,3] og b:=[-7,4]. Beregn 3a-2b, a*b, det(a,b), l\'e6ngden af vektoren a-b og projektionen af a p\'e5 b. \par \par Eksempel. Tegning af en ret linie \par Vi vil tegne linien med ligningen 3x-4y-2=0. F\'f8rst indtaster vi ligningen. Dern\'e6st \'e5bner vi et vindue til en 2-dimensional tegning (tryk p\'e5 knappen i v\'e6rkt\'f8jsbj\'e6lken med en graf). S\'e5 deler vi sk\'e6rmen i et grafvindue og et algebravindue (udregningsvindue) ved at v\'e6lge Window og derefter Tile vertically. S\'f8rg for at liniens ligning er highlighted i algebravinduet og tryk p\'e5 grafknappen i grafvinduet. S\'e5 bliver linien tegnet. Pr\'f8v selv! I \'f8vrigt kan grafen kopieres over i algebravinduet ved at taste Ctrl B. \par \par Opgave 6. To linier og deres sk\'e6ring \par Tegn linierne med ligningerne 2x+5y-4=0 og 3x-2y+13=0. Bestem liniernes sk\'e6ringspunkt ved at klikke p\'e5 det i grafvinduet. \par \par \par Eksempel. Linie givet ved en parameterfremstilling \par Vi vil tegne linien med parameterfremstillingen x=3+2t , y= -1-t. F\'f8rst indtastes parameterfremstillingen simpelthen som \f1 [\f0 3+2t,-1-t]. Dern\'e6st \'e5bnes et grafvindue osv. som ovenfor. Dog skal man v\'e6lge mindste og st\'f8rste v\'e6rdi for parameteren t (fx -10 og 10). Pr\'f8v selv! \par \par Opgave 7. Sk\'e6ring mellem to linier \par Linien l har ligningen x-2y-3=0. Ligningen m har parameterfremstillingen x=2+t , y=-5+2t. Tegn linierne og bestem deres sk\'e6ringspunkt grafisk (som i opgave 6). \par \par \par \par } '{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1030{\fonttbl{\f0\froman\fprq2\fcharset0 Times New Roman;}} {\colortbl ;\red0\green0\blue0;} \viewkind4\uc1\pard\cf1\i\f0\fs32 Supplerende opgaver \par } 3{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1030{\fonttbl{\f0\froman\fprq2\fcharset0 Times New Roman;}{\f1\fnil\fcharset2 DfW5 Printer;}} {\colortbl ;\red0\green0\blue0;} \viewkind4\uc1\pard\cf1\f0\fs24 \par Opgave 8. \par Vektorerne a og b er givet ved a=[t\f1 ^\f0 2-1,5t+9] , b=[t+1,t-1] . \par Bestem de tal t, hvor a og b er ortogonale. \par Bestem de tal t, hvor a og b er parallelle. \par \par Opgave 9. \par Bestem sk\'e6ringspunkterne mellem cirklerne med ligningerne x\f1 ^\f0 2+5x+y\f1 ^\f0 2+6y+2=0 og \par x\f1 ^\f0 2-4x+y\f1 ^\f0 2-13=0 , b\'e5de ved beregning (alts\'e5 l\'f8sning af to ligninger med to ubekendte) og grafisk. \par \par Opgave 10. \par L\'f8s eksamensopgave 3.068 ved hj\'e6lp af Derive. \par }