Skolernes projekter


Et matematikforløb om brøkregning
til brug i 9. klasse og 1.g

udarbejdet og gennemprøvet af H.C.Thomsen, Frederiksberg Gymnasium.


STAMBRØKER - den korte udgave

Et eksempel på et forløb til genopfriskning af brøker og regning med brøker i 9.klasse og 1.g. Denne korte udgave vil blive fulgt op af en mere udførlig med indarbejdelse af erfaringer fra afprøvninger og en diskussion af, hvilket udbytte et sådant forløb kan give.
Forløbet kan puttes ind hvor det passer bedst til holdet, og bør rundes af med en skriftlig aflevering.
Eleverne arbejder enkeltvis eller i smågrupper, alt efter hvad der egner sig bedst i situationen.

En stambrøk er en brøk af formen 1/n, altså en brøk hvor tælleren er 1 og nævneren er et naturligt tal (dvs. et positivt helt tal).

Skriv 1/6 som sum af to stambrøker.
Hvor mange måder kan det gøres på ?
Skriv 1/6 som forskel mellem to stambrøker.
Hvor mange måder kan det gøres på ?

Samme opgave for 1/7, 1/8 osv.

Er der mon en regel ?
Hvis der er, kan du så overbevise dig selv og andre om den ?
Hvis der er, kan den så bevises ?
Hvis der ikke er, hvordan kan man så svare på de første spørgsmål ?


Stambrøker - udvidet version

Brøkregning er et emne som kan få det til at slå gnister i gymnasium/folkeskole forholdet. På afsluttende trin i folkeskolen skal regning med brøker dyrkes og emnet optræder i færdighedsregningsprøven efter niende. I gymnasiets førstegymnasieklasse på matematisk linie skal man ifølge bekendtgørelsen "…opøve sikkerhed i at regne med brøker…".

Når jeg begynder med en ny første-g-matematisk taler jeg med eleverne om hvad de har lavet før (i min sidste klasse kom eleverne fra 19 forskellige skoler) - og hvad de synes var let eller svært. Eleverne de sidste par år hælder mere til opdelingen godt/svært end let/svært, så den bruger vi. Der er ikke enighed eleverne imellem om hvad der er godt eller svært - undtagen på et punkt: Brøkregning - det er svært.

Således manipuleret tager vi fat dér...
Jeg trækker stambrøken 1/6 (alle sjettedeles moder) op af lommen og beder eleverne løse opgaverne i "Stambrøker - den korte udgave".
Hvorfor stambrøker ? Jo bl.a. fordi vi så kan nøjes med at tale om nævneren og ikke nævne tælleren - og for næsten alle elever er det en "ny" måde at se på brøker på - og også fordi man jo så, hvis man er til den slags, kan tilgodese det historiske aspekt ved en senere lejlighed og tale om de "gamle" egyptere, som var fænomenale til at regne med stambrøker; men ikke regnede med brøker.

Så går de dér 28 elever, hvoraf de færreste kender hinanden, i gang , enkeltvis eller i smågrupper. Jeg glider rundt mellem dem og lærer dem lidt at kende. Husk, vi befinder os mellem hytteturen og introfesten, så alle føler alle på tænderne og elevernes hormoner sidder uden på tøjet. Men de gør pænt hvad den nye matematiklærer siger.
Eleverne har endnu ikke købt grafregner; men sidder ofte med en eller anden lommeregner, så det første spørgsmål er som regel:" Må vi bruge lommeregner ?" Selvfølgelig må de det. Det næste spørgsmål efter lidt tid er: "Kan de godt være de samme ?". Vore dages unge er ikke meget for at bruge ordet "ens", og mit svar er: "Ja de må godt være ens. Hvis de skulle være forskellige så skulle det have stået der".
Nu begynder der at komme tal på bordet - og efter den første session og en pause ser vi hvad vi er kommet frem til. Der har nu spredt sig en fornemmelse af at det kan være vanskeligt at se om man har fået (kan få ?) dem alle sammen med. Nogle har flere end andre - nogle kan kun finde en og får så et par ekstra fra de andre (som dog helst ikke giver alle dem de har fundet fra sig). Nu kommer så spørgsmålet: "Hvor mange er der ?". Mit svar:" Vent lidt og se om ikke I allerede tilsammen har hvad der kan være". Så går vi over til at få skrevet op på tavlen, hvad de har fundet ud af.
Under hele dette forløb har det føget med bemærkninger eleverne imellem som: Du skal bare flytte over på den anden side. Du kan bare plusse med den. Vi skal bare bruge fællesnævneren. Osv osv ("bare"-generationen ?). Alle disse og flere fagtermer uden at jeg har nævnt dem. Eleverne kender dem og kan bruge dem. Men hvis de var blevet spurgt direkte (om noget svært og to måneder siden de sidst var i skole!) ville kun et par af dem mene at nogen nok engang havde mumlet noget om fællesnævner og sådan. Ikke noget "bare" dér.

Efterhånden får vi skrevet alle muligheder op (det er vi overbeviste om):
1/6 = 1/7 + 1/42 = 1/8 + 1/24 = 1/9 + 1/18 = 1/10 + 1/15 = 1/12 + 1/12
og
1/6 = 1/5 - 1/30 = 1/4 - 1/12 = 1/3 - 1/6 = 1/2 - 1/3.
Flere elever har undervejs indset at fratrækningsstykker blev nemmere end sammenlægningsdo, fordi der skulle "flyttes over på den anden side", og så blev sammenlægning til fratrækning og omvendt.
Et vist system viser sig allerede nu for nogle, og følgende spørgsmål rejser sig:"Hvor er 11 blevet af ?" og "Er der ikke en formel ?"

Vi fortsætter med 1/7 = 1/8 + 1/56 = 1/14 + 1/14
og
1/7 = 1/6 - 1/42.

Så når vi ikke mere den dag - eleverne får 1/10 og 1/11 med hjem på værkstedet.
Nogle af dem prøver også selv hjemme med 1/8 og 1/9.

Følgende er hvad eleverne får arbejdet med i sådan en dobbelt/trippel time:
Efter at have set på 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10 og 1/11 gættes følgende regel: Der er altid en mindre ved forskel end ved sum. Vi har nemlig set:
Nævner 6 7 8 9 10 11 Summer 5 2 4 3 5 2 Forskelle 4 1 3 2 4 1
- og vi gætter også at antallet af måder må høre sammen med antallet af divisorer (for de fleste elever en ny term) i nævneren.

Tilbage står nu: "Hvor mange er der i alt - er der en formel ?" og "Hvordan finder man dem alle sammen ?".
Svaret på det sidste spørgsmål kommer næsten af sig selv ved arbejdet med at finde dem. Ved summer kører man igennem fra 1/(n+1) til 1/2n og ser hvadfor nogle der dur. Ved forskelle kører man fra 1/(n-1) og igennem til 1/2.
Svaret på det første spørgsmål er følgende:

Lad d være antallet af divisorer i n2 (d er altid ulige - her er mulighed for en dybere diskussion af primtalsfaktoropløsning m.v.).
Så er antal måder 1/n kan skrives som sum af to stambrøker på (d+1)/2.
Og antal måder som forskel mellem to stambrøker (d-1)/2.
Så forskellen er, som gættet, altid 1.

Som del af valgfrit emne i talteori på højniveau eller som (del)emne til en tredieårsopgave kan beviset for ovenstående påstand så føres.

Jeg har ved flere lejligheder fået følgende som forslag til algoritme i "sum-tilfældet": "Kunne du ikke bare skrive den som sum af tre (fire, fem osv) stambrøker, og så lægge dem sammen ?".
Lad os prøve:
Her skulle man så være så snu at man regnede på den med 1/30 en gang til:
1/6 = 1/30 +…+ 1/30 = 2/30 + 3/30 = 1/15 + 1/10 ok
Og så havde man dem alle fem (hvilket vi jo til at begynde med ikke vidste var alle fem). Hov, hvad så med den med 1/36 ? Kunne vi ikke gøre noget ved den ? Jo, men…


Til sidst, igen, igen: "Hvor blev den med 1/11 af ?".



Maj-2001, H.C.Thomsen, Frederiksberg Gymnasium.